Question

(本小題滿分16分)

如圖，橢圓(a>b>0)的上、下兩個頂點為A、B，直線l：，點P是橢圓上異于點A、B的任意一點，連接AP并延長交直線l于點N，連接PB并延長交直線l于點M，設AP所在的直線的斜率為，BP所在的直線的斜率為．若橢圓的離心率為，且過點．

（1）求的值；

（2）求MN的最小值；

（3）隨著點P的變化，以MN為直徑的圓是否恒過定點，

若過定點，求出該定點，如不過定點，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）．

（2）當且僅當時，取得最小值．（3）．

【解析】本試題主要考查了橢圓方程的求解，以及直線斜率公式的運算和圓的方程的求解的綜合運用。

（1）1）因為，，解得，

所以橢圓的標準方程為并且設橢圓上點，有，

所以 

（2）因為在直線l：上，所以設，，由方程知，，所以，又由（1）知，所以 

不妨設，則，則，

運用不等式的思想得到最值。

（3）設，，

則以為直徑的圓的方程為

即，圓過定點，必與無關，

所以有，解得定點坐標為，

所以，無論點P如何變化，以MN為直徑的圓恒過定點以函數在實數集上有最小值時，實數的取值范圍為

（1）因為，，解得，

所以橢圓的標準方程為．……………2分

設橢圓上點，有，

所以．…………4分

（2）因為在直線l：上，所以設，，由方程知，，

所以，……………………………………………………6分

又由（1）知，所以，…………………………………………8分

不妨設，則，則，

所以當且僅當時，取得最小值．…………………………………………10分

（3）設，，

則以為直徑的圓的方程為……………………………………12分

即，圓過定點，必與無關，

所以有，解得定點坐標為，

所以，無論點P如何變化，以MN為直徑的圓恒過定點．………………………16分

以函數在實數集上有最小值時，實數的取值范圍為．……………16分