Question

已知函數.
（1）若，當時，求的取值范圍；
（2）若定義在上奇函數滿足，且當時，，求在上的反函數；
（3）對于（2）中的，若關于的不等式在上恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

（1）；（2）；（3）．

試題分析：（1）這實質上是解不等式，即，但是要注意對數的真數要為正，，；（2）上奇函數滿足，可很快求出，要求在上的反函數，必須求出在上的解析式，根據的定義，在上也應該是一個分段函數，故我們必須分別求出表達式，然后分別求出其反函數的表達式；（3）根據已知可知是周期為4的周期函數，不等式在上恒成立，求參數的取值范圍問題，一般要研究函數的的單調性，利用單調性，可直接去掉函數符號，由已知，我們可得出在上是增函數，在上是減函數，又，而可無限趨近于，因此時，題中不等式恒成立，就等價于，現在我們只要求出的范圍，而要求的范圍，只要按的正負分類即可．
試題解析：（1）原不等式可化為    1分
所以，，        1分
得                2分
（2）因為是奇函數，所以，得    1分
①當時，
            1分
此時，，所以     1分
②當時，，   1分
此時，，所以   1分
綜上，在上的反函數為       1分
（3）由題意，當時，，在上是增函數，
當，，在上也是增函數，
所以在上是增函數，              2分
設，則
由，得
所以在上是減函數，      2分
由的解析式知     1分
設
①當時，，因為，所以，即；
②當時，，滿足題意；
③當時，，因為，所以，即
綜上，實數的取值范圍為               3分