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如圖,對每個正整數n,An(xn,yn)是拋物線x2=4y上的點,過焦點F的直線FAn交拋物線于另一點Bn(sn,tn),
(Ⅰ)試證:xnsn=-4(n≥1);
(Ⅱ)取xn=2n,并記Cn為拋物線上分別以An與Bn為切點的兩條切線的交點.試證:|FC1|+|FC2|+…+|FCn|=2n-2-n+1+1(n≥1)。

證明:(Ⅰ)對任意固定的n≥1,
因為焦點F(0,1),所以可設直線AnBn的方程為y-1=,
將它與拋物線方程聯立得
由一元二次方程根與系數的關系得。
(Ⅱ)對任意固定的n≥1,
利用導數知識易得拋物線在An處的切線的斜率
在An處的切線方程為,①
類似地,可求得在Bn處的切線方程為,②
由②減去①得,
從而,

,③
將③代入①并注意得交點Cn的坐標為(,-1),
由兩點間的距離公式得,
從而,
現在,利用上述已證結論并由等比數列求和公式得,

 
練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源: 題型:

精英家教網如圖,對每個正整數n,An(xn,yn)是拋物線x2=4y上的點,過焦點F的直線FAn交拋物線于另一點Bn(sn,tn).
(Ⅰ)試證:xnsn=-4(n≥1);
(Ⅱ)取xn=2n,并記Cn為拋物線上分別以An與Bn為切點的兩條切線的交點.試證:|FC1|+|FC2|+…+|FCn|=2n-2-n+1+1.

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科目:高中數學 來源: 題型:

(22)如圖,對每個正整數n,An(xn,yn)是拋物線x2=4y上的點,過焦點F的直線FA.交拋物線于另一點Bn(sn,tn).

(Ⅰ)試證:xnsn=-4(n≥1);

(Ⅱ)取xn=2n,并記Cn為拋物線上分別以An與Bn為切點的兩條切線的交點.試證:

|FC1|+|FC2|+…+|FCn|=2n-2-n+1+1(n≥1).

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如圖,對每個正整數n,An(xn,yn)是拋物線x2=4y上的點,過焦點F的直線FAn交拋物線于另一點Bn(sn,tn).
(Ⅰ)試證:xnsn=-4(n≥1);
(Ⅱ)取xn=2n,并記Cn為拋物線上分別以An與Bn為切點的兩條切線的交點.試證:|FC1|+|FC2|+…+|FCn|=2n-2-n+1+1.

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