Question

已知函數，其中a是大于0的常數．
（1）設，判斷并證明g（x）在內的單調性；
（2）當a∈（1，4）時，求函數f（x）在[2+∞）內的最小值；
（3）若對任意x∈[2，+∞）恒有f（x）＞0，試確定a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）設在內有兩個自變量x₁、x₂，且x₁＜x₂，
則g（x₁）-g（x₂）=-=
==
∵x₁＜x₂，，
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0且x₁x₂-a＞0，
∴g（x₁）-g（x₂）＜0，可得g（x₁）＜g（x₂）
所以函數g（x）在內是增函數；
（2）設，當a∈（1，4），x∈[2，+∞）時
由（1）知在[2，+∞）上是增函數
又∵對數函數y=lgx在其定義域上為增函數，
∴在[2，+∞）上是增函數
∴在[2，+∞）上的最小值為
（2）對任意x∈[2，+∞）恒有f（x）＞0，
即在區間[2，+∞）恒成立，
而常用對數的底為10＞1，lg1=0，所以對x∈[2，+∞）恒成立
∴移項，去分母得a＞3x-x²區間[2，+∞）恒成立，即a＞（3x-x²）_max
設，
∵在x∈[2，+∞）上h（x）是減函數
∴h（x）_max=h（2）=2，
∴a＞2
分析：（1）用單調性的定義進行證明：設在內有兩個自變量x₁、x₂，且x₁＜x₂，然后將g（x₁）-g（x₂）分解因式，得到，通過討論這個差的正負，得到g（x₁）＜g（x₂），從而g（x）在內是增函數；
（2）根據（1）的結論，得到真數對應的函數當a∈（1，4）時，在區間[2+∞）內是增函數，再結合對數函數y=lgx在其定義域上為增函數，得到f（x）在[2+∞）上也是增函數，從而得出最小值為；
（3）將不等式f（x）＞0變形，得到不等式對x∈[2，+∞）恒成立，然后移項去分母，可得a＞3x-x²區間[2，+∞）恒成立，即a＞（3x-x²）_max．最后求出二次函數h（x）=3x-x²在區間[2，+∞）上是減函數，從而得到其最大值為h（2）=2，從而得到a的取值范圍是（2，+∞）．
點評：本題給出一個分式函數與對數函數復合類型的函數，通過研究它的單調性與最值，考查了用定義證明函數單調性、對數函數圖象與性質的綜合應用、復合函數的單調性和函數的最值等知識點，屬于中檔題．