Question

已知橢圓與的離心率相等. 直線與曲線交于兩點（在的左側），與曲線交于兩點（在的左側）,為坐標原點，．

（1）當=，時，求橢圓的方程；

（2）若，且和相似，求的值．

 

Answer 1

【答案】

（1）的方程分別為，．（2）.

【解析】

試題分析：（1）由于已知中明確了曲線方程的形式，所以，關鍵是建立“待定系數”.由已知建立方程組即可得解.

（2）由于三角形相似，因此要注意利用對應邊成比例，并結合，建立的方程.將與方程，聯立可得在坐標關系．

利用，得到 .

根據橢圓的對稱性可知：，，又和相似，得到，

于是從出發，得到，即的方程.

試題解析：

（1）∵的離心率相等，

∴,∴， 2分

，將分別代入曲線方程，

由，

由.

當=時，,．

又∵,.

由 解得.

∴的方程分別為，． 5分

（2）將代入曲線得

將代入曲線得，

由于，

所以,，，．

，，

8分

根據橢圓的對稱性可知：，， 又和相似，

，

，

由化簡得

代入得 13分

考點：橢圓的幾何性質，直線與圓錐曲線的位置關系，平面向量的數量積.