Question

【題目】某地區進行疾病普查，為此要檢驗每一人的血液，如果當地有人，若逐個檢驗就需要檢驗次，為了減少檢驗的工作量，我們把受檢驗者分組，假設每組有個人，把這個個人的血液混合在一起檢驗，若檢驗結果為陰性，這個人的血液全為陰性，因而這個人只要檢驗一次就夠了，如果為陽性，為了明確這個個人中究竟是哪幾個人為陽性，就要對這個人再逐個進行檢驗，這時個人的檢驗次數為次.假設在接受檢驗的人群中，每個人的檢驗結果是陽性還是陰性是獨立的，且每個人是陽性結果的概率為.

（Ⅰ）為熟悉檢驗流程，先對3個人進行逐個檢驗，若，求3人中恰好有1人檢測結果為陽性的概率；

（Ⅱ）設為個人一組混合檢驗時每個人的血需要檢驗的次數.

①當，時，求的分布列；

②是運用統計概率的相關知識，求當和滿足什么關系時，用分組的辦法能減少檢驗次數.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）； （Ⅱ）①見解析，②當時，用分組的辦法能減少檢驗次數.

【解析】

（Ⅰ）根據獨立重復試驗概率公式得結果;（Ⅱ）①先確定隨機變量，再分別計算對應概率，列表可得分布列，②先求數學期望，再根據條件列不等式，解得結果.

（Ⅰ）對3人進行檢驗，且檢驗結果是獨立的，

設事件：3人中恰有1人檢測結果為陽性，則其概率

（Ⅱ）①當，時，則5人一組混合檢驗結果為陰性的概率為，每人所檢驗的次數為次，若混合檢驗結果為陽性，則其概率為，則每人所檢驗的次數為次，故的分布列為

②分組時，每人檢驗次數的期望如下

∴

不分組時，每人檢驗次數為1次，要使分組辦法能減少檢驗次數，需 即

所以當時，用分組的辦法能減少檢驗次數.