Question

已知函數，f '（x）為f（x）的導函數，若f '（x）是偶函數且f '（1）=0.

⑴求函數的解析式；

⑵若對于區間上任意兩個自變量的值，都有，求實數的最小值；

⑶若過點，可作曲線的三條切線，求實數的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

⑴；⑵的最小值為；⑶.

【解析】

試題分析：⑴，由是偶函數得.又，所以，由此可得解析式；

⑵對于區間上任意兩個自變量的值，都有，則只需即可.所以接下來就利用導數求在區間上的最大值與最小值，然后代入解不等式即可得的最小值．⑶易知點不在曲線上.凡是過某點的切線（不是在某點處的切線）的問題，都要設出切點坐標然后列方程組..

設切點為．則．又，∴切線的斜率為．

由此得，即．下面就考查這個方程的解的個數.

因為過點，可作曲線的三條切線，所以方程有三個不同的實數解．即函數有三個不同的零點．接下來就利用導數結合圖象研究這個函數的零點的個數.

試題解析：⑴∵，1分

由是偶函數得.又，所以3分

∴．4分

⑵令，即，解得．5分

						+
			極大值		極小值

∵，，

∴當時，，．6分

則對于區間上任意兩個自變量的值，都有

，所以．

所以的最小值為．8分

⑶∵點不在曲線上，

∴設切點為．則．

∵，∴切線的斜率為．

則，即．10分

因為過點，可作曲線的三條切線，

所以方程有三個不同的實數解．

即函數有三個不同的零點．11分

則．

令，解得 或．

	+				+
		極大值		極小值

∴ 即 解得．12分

考點：1、導數的應用；2、不等關系；3、函數的零點.