Question

數列{a_n}滿足a_n=3a_n-1+3ⁿ-1（n≥2）其中a₃=95
（1）求a₁，a₂的值
（2）若存在一個實數λ使得{

an+λ

3n

}為等差數列求λ的值
（3）求數列{a_n}前n項的和S_n．

Answer 1

分析：（1）求a₁，a₂的值，由題設條件，{a_n}滿足a_n=3a_n-1+3ⁿ-1（n≥2）其中a₃=95求解即可
（2）若存在一個實數λ使得{

an+λ

3n

}為等差數列求λ的值可根據等差數列的性質建立方程求參數；
（3）求數列{a_n}前n項的和S_n．可以由（2）求出數列{a_n}的通項，再根據其形式先分組，在各組中分別用錯位相減法求和，公式求和的技巧求和．

解答：解：（1）由題設條件知a₂=3a₁+3¹-1，a₃=3a₂+3³-1=95，解得a₁=7，a₂=23
（2）若存在一個實數λ使得{

an+λ

3n

}為等差數列，則有

a1+λ

31

+

a3+λ

33

=2×

a2+λ

32

，將a₁=7，a₂=23，a₃=95代入解得λ=-5
（3）由（2）{

an-5

3n

}為等差數列其首項為

2

3

，公差為

4

3

的等差數列，故

an-5

3n

=

2

3

+

4

3

×(n-1)=

4

3

n-

2

3

，故a_n=4n×3^n-1-2×3^n-1+5
令A_n為數列{4n×3^n-1}的前n項和，則S_n=A_n-2×（3⁰+3¹+…+3^n-1）+5n=A_n+1-3ⁿ+5n
由于A_n=4×（1×3⁰+2×3¹+3×3²+…+n×3^n-1）
3A_n=4×（1×3¹+2×3²+3×3³+…+n×3ⁿ）
故-2A_n=4×（3⁰+3¹+3²+…+3^n-1-n×3ⁿ）=4×（

1

2

×(3n-1)-n×3ⁿ）
A_n=2×（3ⁿ-1）+4×（n×3ⁿ）
所以S_n=2×（3ⁿ-1）+4×（n×3ⁿ）+1-3ⁿ+5n

點評：本題考點是數列的求和，考查了公式法求和以及錯位相減法求和等技巧，學習時要注意積累常見的求和技巧，總結其規律．