Question

數列{a_n}的前n項和為S_n，已知．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若數列{c_n}滿足，求數列{c_n}的前n項和T_n．
（Ⅲ）張三同學利用第（Ⅱ）題中的T_n設計了一個程序流程圖，但李四同學認為這個程序如果被執行會是一個“死循環”（即程序會永遠循環下去，而無法結束）．你是否同意李四同學的觀點？請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用，a₁=S₁；當n＞1時，a_n=S_n-S_n-1可求
（Ⅱ）根據題意需要分類討論：當n為偶數和n為奇數兩種情況，結合等差數列與等比數列的求和公式可求
（Ⅲ） 記d_n=T_n-P，結合（II）中的求和可得d_n，進而可判斷d_n的單調性，分n為偶數，奇數兩種情況討論d_n的范圍，結合所求d_n可判斷其循環規律，從而可知判斷
解答：解：（Ⅰ）當n=1時，a₁=S₁=2；
當n＞1時，a_n=S_n-S_n-1=n+1，則
（Ⅱ）當n為偶數時，
當n為奇數時，n-1為偶數，
則
（Ⅲ） 記d_n=T_n-P
當n為偶數時，．
所以從第4項開始，數列{d_n}的偶數項開始遞增，而且d₂，d₄，…，d₁₀均小于2012，d₁₂＞2012，
則d_n≠2012（n為偶數）．
當n為奇數時，．
所以從第5項開始，數列{d_n}的奇數項開始遞增，而且d₁，d₃，…，d₁₁均小于2012，d₁₃＞2012，
則d_n≠2012（n為奇數）
．故李四同學的觀點是正確的．
點評：本題以程序框圖為載體綜合考查了利用數列的遞推公式求解數列的通項公式及數列的和的求解，體現了分類 討論思想的應用，