Question

已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在軸上且過點，離心率是．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）直線過點且與橢圓交于，兩點，若，求直線的方程.

 

Answer 1

（1）；（2）和．

【解析】

試題分析：（1）由題設條件知關于a,b,c的方程組，由此能求出橢圓方程． 

（2）可以設直線方程（斜率不存在單獨考慮），然后與橢圓方程聯立，消去y得到關于x的一元二次方程，利用韋達定理結合題目條件建立方程即可求出直線方程.

試題解析：（1）設橢圓的方程為.

由已知可得 3分

解得，.

故橢圓的方程為． 6分

（2）由已知，若直線的斜率不存在，則過點的直線的方程為，

此時，顯然不成立． 7分

若直線的斜率存在，則設直線的方程為．

則

整理得． 9分

由

．

設．

故，① ． ② 10分

因為，即．③

①②③聯立解得． 13分

所以直線的方程為和． 14分

考點：(1)橢圓標準方程；（2）直線與圓錐曲線的位置關系.