Question

【題目】設分別是橢圓的左、右焦點，過且斜率不為零的直線與橢圓交于兩點，的周長為

（1）求橢圓的方程

（2）是否存在直線，使得為等腰直角三角形？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由

Answer 1

【答案】（1）；（2）不存在，見解析.

【解析】

（1）根據焦點坐標得，的周長為，即，即可解得橢圓的方程；

（2）分別討論將作為等腰直角三角形的斜邊和直角邊（即底邊和腰）的情況，即可得出矛盾.

（1）由題橢圓的焦點坐標，所以，的周長為，即，，，

所以橢圓的方程為；

（2）不存在，理由如下：

當為底邊時，，根據橢圓對稱性，此時直線垂直于軸，其方程，

此時，

，

所以不垂直，即為底邊時等腰頂角不為直角，所以不是等腰直角三角形；

當為腰時，必有，

假設為等腰直角三角形，不妨設為直角頂點，設，

則，在中，由勾股定理，，

即，解得：，此時，

與矛盾，所以不是等腰直角三角形，

綜上所述，不存在直線，使得為等腰直角三角形