Question

如圖所示是某水產養殖場的養殖大網箱的平面圖，四周的實線為網衣，為避免混養，用篩網（圖中虛線）把大網箱隔成大小一樣的小網箱．
（1）若大網箱的面積為108平方米，每個小網箱的長x，寬y設計為多少米時，才能使圍成的網箱中篩網總長度最��；
（2）若大網箱的面積為160平方米，網衣的造價為112元/米，篩網的造價為96元/米，且大網箱的長與寬都不超過15米，則小網箱的長、寬為多少米量，可使總造價最低？

Answer 1

分析：（1）將實際問題轉化成數學問題，出現乘積是定值，且等號能取到，利用基本不等式求最值．
（2）將實際問題轉化成數學問題，出現乘積是定值，但等號取不到，不能用基本不等式求最值，利用導數求函數單調性求最值．

解答：解：（1）設小網箱的長、寬分別為x米、y米，篩網總長度為S，
依題意4x•2y=108，即xy=

27

2

，S=4x+6y，
因為4x+6y=2(2x+3y)≥4

6xy

=36，所以S≥36，
當且僅當2x=3y時，等號成立，
解方程組

2x=3y xy= 27 2

得

x=4.5 y=3.

即每個小網箱的長與寬分別為與4.5米與3米時，網箱中篩網的總長度最�。�
（2）設總造價為W元，則由4x•2y=160，得xy=20，
因為4x≤15，2y≤15，所以x≤

15

4

，y≤

15

2

，y=

20

x

≤

15

2

，∴

8

3

≤x≤

15

4

W=(8x+4y)•112+(4x+6y)•96=(8x+4×

20

x

)•112+(4x+6×

20

x

)•96=1280(x+

16

x

)，
求導，可得W（x）在[

8

3

，

15

4

]上單調遞減，所以當x=

15

4

時，W最小，此時x=

15

4

，y=

16

3

，
即當小網箱的長與寬分別為

15

4

米與

16

3

米時，可使總造價最低．

點評：本題考查利用基本不等式請求函數的最值是一定注意使用的條件：一正；二定；三相等．