Question

【題目】如圖，在矩形中，為CD的中點，將沿AE折起到的位置，使得平面平面．

（1）證明：平面平面；

（2）求平面與平面所成二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）由題可得，即，由平面平面，根據面面垂直的性質可得平面，從而證明平面平面；

（2）結合（1），如圖建立空間直角坐標系，分別求出平面與平面的法向量，由二面角的余弦公式求出余弦值，從而可得到平面與平面所成二面角的正弦值。

（1）證明：設，在矩形中，由為的中點，易求得：，

所以．

所以．

又因為平面平面，平面平面，

所以平面．

又平面，所以平面平面.

（2）設，取中點，連接﹐由，得，所以．又平面平面，平面平面，故平面．如圖，以 為坐標原點，分別以，的方向為軸，軸正方向建立空間直角坐標系，

依題意得：.

，

由（1）知平面，故可取平面的法向量為，設平面的法向量為，則，即

不妨取，得，

設平面與平面所成二面角為θ，

，則，

所以平面與平面所成二面角的正弦值為.