Question

在某次水下考古活動中，需要潛水員潛入水深為30米的水底進行作業．其用氧量包含3個方面：①下潛時，平均速度為v（米/單位時間），單位時間內用氧量為cv²（c為正常數）；②在水底作業需5個單位時間，每個單位時間用氧量為0.4；③返回水面時，平均速度為（米/單位時間），單位時間用氧量為0.2．記該潛水員在此次考古活動中，總用氧量為y．
（1）將y表示為v的函數；
（2）設0＜v≤5，試確定下潛速度v，使總的用氧量最少．

Answer 1

【答案】分析：（1）分別計算潛入水底用時、用氧量；水底作業時用氧量；返回水面用時、用氧量，即可得到總用氧量的函數；
（2）利用基本不等式可得時取等號，再結合0＜v≤5，即可求得確定下潛速度v，使總的用氧量最少．
解答：解：（1）潛入水底用時，用氧量為，水底作業時用氧量為5×0.4=2，返回水面用時，用氧量為=，
∴總用氧量y=（v＞0）；
（2）y=≥2+2=2+12，當且僅當，即時取等號
當≤5，即時，時，y的最小值為2+12，
當＞5，即時，y′=0，
∴函數在（0，5]上為減函數
∴v=5時，y的最小值為．
綜上，當時，下潛速度為時，用氧量最小值為2+12；
當時，下潛速度為5時，用氧量最小值為．
點評：本題考查函數模型的構建，考查基本不等式的運用，考查導數知識，考查分類討論的數學思想．