Question

已知兩函數f（x）=8x²+16x-m，g（x）=2x³+5x²+4x，（m∈R）若對?x₁∈[-3，3]，?x₂∈[-3，3]，恒有f（x₁）＞g（x₂）成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：若對?x₁∈[-3，3]，?x₂∈[-3，3]，恒有f（x₁）＞g（x₂）成立，只需在∈[-3，3]上f（x）min＞g（x）min即可．分別利用二次函數的圖象與性質與導數求出兩個最小值，列不等式求解即可．

解答：解：若對?x₁∈[-3，3]，?x₂∈[-3，3]，恒有f（x₁）＞g（x₂）成立，只需在∈[-3，3]上f（x）min＞g（x）min即可．
f（x）=8x²+16x-m=8（x+1）²-m-8，f（x）min=f（-1）=-m-8
g（x）=2x³+5x²+4x，g′（x）=6x²+10x+4=（x+1）（6x+4），
在x∈（-3，-1）∪（-

2

3

，3]，g′（x）＞0，（-3，-1）與（-

2

3

，3]是g（x）單調遞增區間．在x∈（-1，-

2

3

），g′（x）＜0，（-1，-

2

3

，]是g（x）單調遞減區間．
g（x）的極小值為g（-

2

3

）=-

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，又g（-3）=-21，所以g（x）min=-21
所以-m-8＞-21，解得m的范圍為m＜13．

點評：本題考查函數的最值及應用，將問題轉化為f（x）min＞g（x）min是關鍵．考查邏輯推理、轉化計算等能力．