給定橢圓
：
，稱圓心在原點
，半徑為
的圓是橢圓的“準圓”．若橢圓的一個焦點為
，且其短軸上的一個端點到
的距離為
.
(Ⅰ)求橢圓的方程和其“準圓”方程；
(Ⅱ)點
是橢圓的“準圓”上的一個動點，過動點作直線
，使得與橢圓都只有一個交點，試判斷是否垂直，并說明理由．
(Ⅰ)
，
；(Ⅱ)垂直.
解析試題分析：(Ⅰ)利用焦點坐標求出
，利用短軸上的一個端點到的距離為，求出
，解出
，
，寫出橢圓方程，通過得到的，求出準圓的半徑，直接寫出準圓方程；(Ⅱ)分情況討論：①當中有一條直線的斜率不存在時，②當的斜率都存在時.
試題解析：(Ⅰ)由題意可知，，則，，
所以橢圓方程為. 2分
易知準圓半徑為
，
則準圓方程為. 4分
(Ⅱ)①當中有一條直線的斜率不存在時，
不妨設
的斜率不存在，因為與橢圓只有一個公共點，則其方程為
，
當的方程為
時，此時與準圓交于點
，
，
此時經過點或且與橢圓只有一個公共點的直線是
或
，
即
為或，顯然直線垂直； 6分
同理可證直線的方程為
時，直線也垂直． 7分
②當的斜率都存在時，設點
，其中
.
設經過點與橢圓只有一個公共點的直線為
，
由
消去
，得
.
由
化簡整理得，
. 因為，
所以有
. 10分
設直線的斜率分別為
，因為與橢圓只有一個公共點，
所以滿足方程，
所以
，即垂直． 12分
綜合①②知，垂直． 13分
考點：1.橢圓方程；2.分類討論思想解題.
第1卷單元月考期中期末系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓C：
＋
＝1（a＞b＞0）的離心率為
，過右焦點F的直線l與C相交于A、B兩點，當l的斜率為1時，坐標原點O到l的距離為
．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）C上是否存在點P，使得當l繞F轉到某一位置時，有
＝
＋
成立？若存在，求出所有的P的坐標與l的方程；若不存在，說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
橢圓
的左、右焦點分別為F1(-1，0)，F2(1,0)，過F1作與x軸不重合的直線l交橢圓于A,B兩點.
（Ⅰ）若ΔABF2為正三角形，求橢圓的離心率；
（Ⅱ）若橢圓的離心率滿足
,0為坐標原點，求證
為鈍角.
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已知橢圓
的離心率為
，
，
為橢圓
的兩個焦點，點
在橢圓上，且
的周長為
。
（Ⅰ）求橢圓的方程
（Ⅱ）設直線
與橢圓相交于
、
兩點，若
（
為坐標原點），求證：直線與圓
相切.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，在平面直角坐標系
中，橢圓
的右焦點為
，離心率為
．
分別過
，
的兩條弦
，
相交于點
（異于
，
兩點），且
．
（1）求橢圓的方程；
（2）求證：直線
，
的斜率之和為定值．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓C:
的四個頂點恰好是一邊長為2，一內角為
的菱形的四個頂點.
(I)求橢圓C的方程；
(II)若直線y =kx交橢圓C于A，B兩點，在直線l:x+y-3=0上存在點P,使得 ΔPAB為等邊三角形,求k的值.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知焦點在
軸上的橢圓
和雙曲線
的離心率互為倒數，它們在第一象限交點的坐標為
，設直線
（其中
為整數）.
（1）試求橢圓
和雙曲線
的標準方程；
（2）若直線
與橢圓交于不同兩點
，與雙曲線交于不同兩點
，問是否存在直線，使得向量
，若存在，指出這樣的直線有多少條？若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
在直角坐標系
中，曲線
的參數方程為
，
以原點
為極點，
軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線
的極坐標方程為
.
⑴ 求曲線的普通方程和曲線的直角坐標方程；
⑵ 當
時，曲線和相交于
、
兩點，求以線段
為直徑的圓的直角坐標方程.
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的左、右焦點分別為
離心率為
直線
與C的兩個交點間的距離為
；
的直線l與C的左、右兩支分別相交有A、B兩點，且
證明：