Question

（本小題共13分）

數列滿足，（），是常數。

（Ⅰ）當時，求及的值；

（Ⅱ）數列是否可能為等差數列？若可能，求出它的通項公式；若不可能，說明理由；

（Ⅲ）求的取值范圍，使得存在正整數，當時總有。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ），

（Ⅱ）數列不可能為等差數列，理由見解析。

（Ⅲ）

【解析】（Ⅰ）由于，且。

所以當時，得，故。

從而。

（Ⅱ）數列不可能為等差數列，證明如下：由，

得，，。

若存在，使為等差數列，則，即，

解得。于是，。

這與為等差數列矛盾。所以，對任意，都不可能是等差數列。

（Ⅲ）記，根據題意可知，且，即

且，這時總存在，滿足：當時，；

當時，。所以由及可知，若為偶數，

則，從而當時，；若為奇數，則，

從而當時．因此“存在，當時總有”

的充分必要條件是：為偶數，

記，則滿足。

故的取值范圍是。