Question

已知函數.

（Ⅰ）若函數在[1，2]上是減函數，求實數的取值范圍；

（Ⅱ）令，是否存在實數，當（是自然常數）時，函數的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，說明理由；

（Ⅲ）當時，證明：

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）、（3）見解析.

【解析】本題重點考查了導函數的求法、利用導數研究函數單調性、最值的求法等，要熟練掌握導數的應用：（1）求斜率：在曲線的某點有切線，則求導后把橫坐標代進去，則為切線的斜率；（2）單調性的判斷：，單調遞增，，單調遞減.要熟練一些函數單調性的方法.

解：（Ⅰ）在[1，2]上恒成立.

令，有得 ，得.

（Ⅱ）假設存在實數，使有最小值3,

①當時，在上單調遞減，（舍去），

②當時，在上單調遞減，在上單調遞增

∴，滿足條件.

③當時，在上單調遞減，（舍去），

綜上，存在實數，使得當時有最小值3.

(Ⅲ)令，由（2）知，.令，

當時，在上單調遞增

∴    

∴即