Question

【題目】已知函數.

（1）當時，判斷在上的單調性并加以證明；

（2）若，，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）在為增函數；證明見解析（2）

【解析】

（1）令，求出，可推得，故在為增函數；

（2）令，則，由此利用分類討論思想和導數性質求出實數的取值范圍.

（1）當時，.

記，則，

當時，，.

所以，所以在單調遞增，所以.

因為，所以，所以在為增函數.

（2）由題意，得，記，則，

令，則，

當時，，，所以，

所以在為增函數，即在單調遞增，

所以.

①當，，恒成立，所以為增函數，即在單調遞增，

又，所以，所以在為增函數，所以

所以滿足題意.

②當，，令，，

因為，所以，故在單調遞增，

故，即.

故，

又在單調遞增，

由零點存在性定理知，存在唯一實數，，

當時，，單調遞減，即單調遞減，

所以，此時在為減函數，

所以，不合題意，應舍去.

綜上所述，的取值范圍是.