Question

（08年長郡中學二模理）（12分） 如圖，直三棱柱A₁B₁C₁―ABC中，C₁C=CB=CA=2，AC⊥CB. D、E分別為棱C₁C、B₁C₁的中點.

    （Ⅰ）求與平面A₁C₁CA所成角的大��；

    （Ⅱ）求二面角B―A₁D―A的大小；

    （Ⅲ）試在線段AC上確定一點F，使得EF⊥平面A₁BD.

Answer 1

解析：（Ⅰ）連接A₁C.∵A₁B₁C₁－ABC為直三棱柱，∴CC₁⊥底面ABC，∴CC₁⊥BC.

    ∵AC⊥CB，∴BC⊥平面A₁C₁CA. ……………1分

    ∴為與平面A₁C₁CA所成角，

.

∴與平面A₁C₁CA所成角為.…………4分

（Ⅱ）分別延長AC，A₁D交于G. 過C作CM⊥A₁G 于M，連結BM，

    ∵BC⊥平面ACC­₁A₁，∴CM為BM在平面A₁C₁CA內的射影，

    ∴BM⊥A₁G，∴∠CMB為二面角B―A₁D―A的平面角，

    平面A₁C₁CA中，C₁C=CA=2，D為C₁C的中點，

    ∴CG=2，DC=1 在直角三角形CDG中，，.

    即二面角B―A₁D―A的大小為.……………………8分

（Ⅲ）取線段AC的中點F，則EF⊥平面A₁BD.

證明如下：

∵A₁B₁C₁―ABC為直三棱柱，∴B₁C₁//BC，

∵由（Ⅰ）BC⊥平面A₁C₁CA，∴B₁C₁⊥平面A₁C₁CA，

∵EF在平面A₁C₁CA內的射影為C₁F，當F為AC的中點時，

C₁F⊥A₁D，∴EF⊥A₁D.

同理可證EF⊥BD，∴EF⊥平面A₁BD.……………………12分