Question

已知、分別是橢圓的左、右焦點，右焦點到上頂點的距離為2，若.

（Ⅰ）求此橢圓的方程；

（Ⅱ）點是橢圓的右頂點，直線與橢圓交于、兩點（在第一象限內），又、是此橢圓上兩點，并且滿足，求證：向量與共線.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）求此橢圓的方程，由題意到上頂點的距離為2，即，，再由，即可求出，從而得橢圓的方程；（Ⅱ）求證：向量與共線，即證，由于點是橢圓的右頂點，可得，直線與橢圓交于、兩點（在第一象限內），可由，解得，得，只需求出直線的斜率，由題意，而與的平分線平行，可得的平分線垂直于軸，設的斜率為，則的斜率；因此和的方程分別為：、；其中；分別代入橢圓方程，得的表達式，從而可得直線的斜率，從而可證．

試題解析：（Ⅰ）由題知：

（Ⅱ）因為：，從而與的平分線平行，

所以的平分線垂直于軸；

由不妨設的斜率為，則的斜率；因此和的方程分別為：、；其中； 由得；，因為在橢圓上；所以是方程的一個根；

從而；     同理：；得,

從而直線的斜率；又、；所以；所以所以向量與共線.

考點：橢圓方程，直線與橢圓位置關系．