Question

數列的首項為（），前項和為，且（）．設，（）．

（1）求數列的通項公式；

（2）當時，若對任意，恒成立，求的取值范圍；

（3）當時，試求三個正數，，的一組值，使得為等比數列，且，，成等差數列．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）；（3），，．

【解析】

試題分析：（1）要求數列的通項公式，已知的是，這種條件的應用一般是把用代換得，然后兩式相減就可把的遞推關系轉化為的遞推關系，但要注意這個遞推關系中一般不含有，必須另外說明與的關系；（2）時，，，那么不等式就是，請注意去絕對值符號的方法是兩邊平方，即等價于，這個二次的不等式對恒成立，變形為，然后我們分析此不等式發現，當時，不可能恒成立；時，不等式恒成立；當時，不等式變為，可分類（）分別求出的范圍，最后取其交集即得；（3）考查同學們的計算能力，方法是一步步求出結論，當時，，，

，最后用分組求和法求出，

根據等比數列的通項公式的特征一定有，再加上三個正數，，成等差數列，可求出，，，這里考的就是計算，小心計算．

試題解析：（1）因為  ①

當時，  ②，

①—②得，（），                      （2分）

又由，得，                     （1分）

所以，是首項為，公比為的等比數列，所以（）．  （1分）

（2）當時，，，，              （1分）

由，得，  （*）     （1分）

當時，時，（*）不成立；

當時，（*）等價于  （**）

時，（**）成立．

時，有，即恒成立，所以．

時，有，．時，有，．    （3分）

綜上，的取值范圍是．                     （1分）

（3）當時，，，    （1分）

，    （2分）

所以，當時，數列是等比數列，所以    （2分）

又因為，，成等差數列，所以，即，

解得．                              （1分）

從而，，．                      （1分）

所以，當，，時，數列為等比數列．  （1分）

考點：(1)等比數列的定義；（2）數列與不等式恒成立問題；（3）分組求和，等比數列的通項公式．