Question

設函數f（x）的定義域為D，如果對于任意的x₁∈D，存在唯一一個x₂∈D，使得f（x₁）+f（x₂）=c（c為常數）成立，則稱函數f（x）在D上“與常數c關聯”，現有函數 ①，②y=-x³，③，④y=ln（-x），⑤，則其中滿足在其定義域上與常數1關聯的所有函數是（ ）
A．①②⑤
B．①③
C．②④⑤
D．②④

Answer 1

【答案】分析：對各個選項分別加以判斷：根據“與常數4關聯”的定義，列出方程可以解出x₂關于x₁表達式且情況唯一的選項是②和④
，而①和③通過解方程發現不符合這個定義，從而得出正確答案．
解答：解：① 的定義域為{x|x≠1}，設x₁≠1，由+=1，可得 x₂=，
當x₁=2時，x₂不存在，故①在其定義域上不是與常數1關聯的函數． 
②y=-x³ 的定義域R，設x₁∈R，由-x₁³-x₂³=1，可得一定存在唯一的一個x₂==-，
故②y=-x³ 在其定義域上是與常數1關聯的函數．
③的定義域為R，設x₁=-1時，滿足 +=1的 x₂ 不存在，
故③ 在其定義域上不是與常數1關聯的函數．
④y=ln（-x）的定義域為{x|x＜0}，設x₁＜0，由ln（-x₁）+ln（-x₂）=1，可得唯一的x₂=＜0，
故④y=ln（-x）在其定義域上是與常數1關聯的函數．
⑤明顯不成立，因為是R上的周期函數，故在其定義域上不是與常數1關聯的函數． 
故選 D．
點評：本題著重考查了抽象函數的應用，屬于基礎題．充分理解各基本初等函數的定義域和值域，是解決本題的關鍵．