已知函數
（1）當
時，討論函數
的單調性：
（2）若函數
的圖像上存在不同兩點
，設線段
的中點為
，使得在點
處的切線
與直線平行或重合，則說函數是“中值平衡函數”，切線叫做函數的“中值平衡切線”。試判斷函數是否是“中值平衡函數”？若是，判斷函數的“中值平衡切線”的條數；若不是，說明理由.
（1）函數的遞增區間是
,遞減區間是
；（2）當
時，函數是“中值平衡函數”且函數的“中值平衡切線”有無數條，當時，函數不是“中值平衡函數”.
解析試題分析：(1)對
進行討論，求導數，令導數大于0或小于0，求單調遞增或遞減區間；（2）先假設它是“中值平衡函數”，設出兩點，討論和的情況，看是否符合題意.
試題解析：（1）
1分
當
即
時，
，函數在定義域
上是增函數； 2分
當
即
時,由
得到
或
， 4分
所以：當
時，函數的遞增區間是
和，遞減區間是
； 5分
當
即
時，由
得到：，
所以:當時,函數的遞增區間是,遞減區間是； 7分
（2）若函數是“中值平衡函數”，則存在
（
）使得
即
，
即
，（*） 4分
當時，（*）對任意的都成立，所以函數是“中值平衡函數”，且函數的“中值平衡切線”有無數條； 8分
當時，設
，則方程
在區間
上有解， 10分
記函數
，則
， 12分
所以當
時，
，即方程在區間上無解，
即函數不是“中值平衡函數”. 14分
考點：1.求切線的斜率；2.用導數求函數的單調性；3.分類討論思想.
計算高手系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數
．
(Ⅰ）求函數
的單調遞增區間；
(Ⅱ）當
時，在曲線
上是否存在兩點
，使得曲線在
兩點處的切線均與直線
交于同一點？若存在，求出交點縱坐標的取值范圍；若不存在，請說明理由；
(Ⅲ）若
在區間
存在最大值
，試構造一個函數
，使得同時滿足以下三個條件：①定義域
，且
；②當
時，
；③在
中使取得最大值時的
值，從小到大組成等差數列．（只要寫出函數即可）
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數f（x）=2﹣|x|，無窮數列{an}滿足an+1=f（an），n∈N*
（1）若a1=0，求a2，a3，a4；
（2）若a1＞0，且a1，a2，a3成等比數列，求a1的值
（3）是否存在a1，使得a1，a2，…，an，…成等差數列？若存在，求出所有這樣的a1，若不存在，說明理由．
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為奇函數.
，試判斷
的單調性（不需證明）；
，使
，求實數k的最大值．
，試判斷此函數
在
上的單調性，并求此函數
，函數
.
時，
恒成立，求實數
的最大值.
（
為常數）．
時，求
的單調遞減區間；
，且對任意的
，
恒成立，求實數
若函數
在
和
上是增函數，在
是減函數，求
的值；
討論函數
的單調遞減區間；
如果存在
，使函數
，
，在
處取得最小值，試求
的最大值.
，請用定義證明
在
上為減函數.