Question

【題目】定義在R上的函數滿足，且對任意的都有其中為的導數，則下列一定判斷正確的是( )

A.B.

C.D.

Answer 1

【答案】B

【解析】

根據條件對任意的x≥1都有，f′（x）+2f（x）＞0，構造函數F（x）＝e2xf（x），則F'（x）＝2e2xf（x）+e2xf'（x）＝e2x[2f（x）+f'（x）]，可得F（x）在x≥1時單調遞增．由e4（x+1）f（x+2）＝f（﹣x），注意到F（x+2）＝e2（x+2）f（x+2）； F（﹣x）＝e﹣2xf（﹣x）；代入已知表達式可得：F（x+2）＝F（﹣x），所以F（x）關于x＝1對稱，則由F（x）在x≥1時單調遞增，化簡即可得出結果．

設F（x）＝e2xf（x），則F'（x）＝2e2xf（x）+e2xf'（x）＝e2x[2f（x）+f'（x）]，

∵對任意的x≥1都有f′（x）+2f（x）＞0；

則F'（x）＞0，則F（x）在[1，+∞）上單調遞增；

F（x+2）＝e2（x+2）f（x+2）； F（﹣x）＝e﹣2xf（﹣x）；

因為e4（x+1）f（x+2）＝f（﹣x），

∴e2xe2x+2f（x+2）＝f（﹣x）；∴e2x+2f（x+2）＝e﹣2xf（﹣x）

∴F（x+2）＝F（﹣x），所以F（x）關于x＝1對稱，則F（﹣2）＝F（4），

∵F（x）在[1，+∞）上單調遞增；

∴F（3）＜F（4）即F（3）＜F（﹣2），∴e6f（3）＜e﹣4f（﹣2）；

即e10f（3）＜f（﹣2）成立．故D不正確；

F（3）＝F（﹣1），F（0）＝F（2）故A，C 均錯誤；

F（3）＞F（2）∴e2f（3）＞f（2）．B正確．

故選：B．