Question

數列的前n項和為，和滿足等式

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求證：數列是等差數列；

（Ⅲ）若數列滿足，求數列的前n項和；

（Ⅳ）設，求證：

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）=8 （Ⅱ）見解析（III）（Ⅳ）見解析

【解析】

試題分析：（Ⅰ）令n=1,代入即可; （Ⅱ）利用兩邊同除以n+1,構造等差數列即可; （III）由（II）可知數列是等差數列,求出的解析式,再利用求出的通項公式，代入,求出，再利用錯位相減法求出數列的前n項和;（Ⅳ）由（III）知,代入,求出的通項公式,再求出其前n項和,最后利用放縮法得到所求結果.

試題解析：（Ⅰ）由已知:

（Ⅱ）∵,同除以n+1,則有：,所以是以3為首項,1為公差的等差數列.

（III）由（II）可知,  

 

當 經檢驗，當n=1時也成立                  

解得：                      

 （Ⅳ）∵

   

考點：1.等差數列的定義; 2.錯位相減法求n前項和;3.放縮法