【題目】如圖，在四棱錐
中，
，
，
，
、
分別為棱
、
的中點，
.
（1）證明：平面
平面
；
（2）若二面角
的大小為45°，求直線
與平面
所成角的正弦值.
【答案】（1）證明見解析（2）
【解析】
（1）證明
，
得到答案.
（2）以與
垂直的直線為
軸，所在直線為
軸，
所在直線為
軸建立空間直角坐標系，面
的法向量記為
，面
的法向量為
，根據夾角得到
，平面
的法向量
，計算得到答案.
（1）因為點
為的中點，
，
，
所以四邊形
為平行四邊形，即.
因為、
分別為棱、
的中點，.
，所以平面
平面
.
（2）如圖所示
因為
，
，
與
為相交直線，所以
平面
，不妨設
，則
.
以與垂直的直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸建立空間直角坐標系，設
，
，
，
，
，
從而
，
，
面的法向量記為
，則
，可得
，
令
，則
，，
又面的法向量為，二面角
的大小為45°.
，解得，所以
，
，，
所以
，
，
，
設平面的法向量為
，則
，可得：
.
令
，則
，
.所以.
設直線
與平面所成角為
，則
.
天天向上一本好卷系列答案
小學生10分鐘應用題系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在如圖所示的四棱錐
中，四邊形
為平行四邊形，
為邊長為2的等邊三角形，
，點
，
分別為
，
的中點，
是異面直線和
的公垂線．
（1）證明：平面
平面
；
（2）記
的重心為
，求直線
與平面所成角的正弦值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某廠加工的零件按箱出廠，每箱有10個零件，在出廠之前需要對每箱的零件作檢驗，人工檢驗方法如下：先從每箱的零件中隨機抽取4個零件，若抽取的零件都是正品或都是次品，則停止檢驗；若抽取的零件至少有1個至多有3個次品，則對剩下的6個零件逐一檢驗.已知每個零件檢驗合格的概率為0.8，每個零件是否檢驗合格相互獨立，且每個零件的人工檢驗費為2元.
（1）設1箱零件人工檢驗總費用為
元，求的分布列；
（2）除了人工檢驗方法外還有機器檢驗方法，機器檢驗需要對每箱的每個零件作檢驗，每個零件的檢驗費為1.6元.現有1000箱零件需要檢驗，以檢驗總費用的數學期望為依據，在人工檢驗與機器檢驗中，應該選擇哪一個？說明你的理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某校為了解高三男生的體能達標情況，抽調了120名男生進行立定跳遠測試，根據統計數據得到如下的頻率分布直方圖.若立定跳遠成績落在區間
的左側，則認為該學生屬“體能不達標的學生，其中
分別為樣本平均數和樣本標準差，計算可得
（同一組中的數據用該組區間的中點值作代表）.
（1）若該校高三某男生的跳遠距離為
，試判斷該男生是否屬于“體能不達標”的學生？
（2）該校利用分層抽樣的方法從樣本區間
中共抽出5人，再從中選出兩人進行某體能訓練，求選出的兩人中恰有一人跳遠距離在
的概率.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為了解全市統考情況，從所有參加考試的考生中抽取4000名考生的成績，頻率分布直方圖如下圖所示.
（1）求這4000名考生的半均成績
（同一組中數據用該組區間中點作代表）；
（2）由直方圖可認為考生考試成績z服從正態分布
，其中
分別取考生的平均成績和考生成績的方差
，那么抽取的4000名考生成績超過84.81分（含84.81分）的人數估計有多少人？
（3）如果用抽取的考生成績的情況來估計全市考生的成績情況，現從全市考生中隨機抽取4名考生，記成績不超過84.81分的考生人數為
，求
.（精確到0.001）
附：①
；
②
，則
；
③
.
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