Question

【題目】設函數 ．
（1）求f（x）的單調區間及最大值；
（2）討論關于x的方程|lnx|=f（x）根的個數．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ = ，解f′（x）＞0，得 ；解f′（x）＜0，得 ．

∴函數f（x）的單調遞增區間為 ；單調遞減區間為 ．

故f（x）在x= 取得最大值，且

（2）解：函數y=|lnx|，當x＞0時的值域為[0，+∞）．如圖所示：

①當0＜x≤1時，令u（x）=﹣lnx﹣ ﹣c，

c= =g（x），

則 = ．

令h（x）=e2x+x﹣2x2，則h′（x）=2e2x+1﹣4x＞0，∴h（x）在x∈（0，1]單調遞增，

∴1=h（0）＜h（x）≤h（1）=e2﹣1．

∴g′（x）＜0，∴g（x）在x∈（0，1]單調遞減．

∴c ．

②當x≥1時，令v（x）=lnx﹣ ，得到c=lnx﹣ =m（x），

則 = ＞0，

故m（x）在[1，+∞）上單調遞增，∴c≥m（1）= ．

綜上①②可知：當 時，方程|lnx|=f（x）無實數根；

當 時，方程|lnx|=f（x）有一個實數根；

當 時，方程|lnx|=f（x）有兩個實數根．

【解析】（1）利用導數的運算法則求出f′（x），分別解出f′（x）＞0與f′（x）＜0即可得出單調區間及極值與最值；（2）分類討論：①當0＜x≤1時，令u（x）=﹣lnx﹣ ﹣c，②當x≥1時，令v（x）=lnx﹣ ．利用導數分別求出c的取值范圍，即可得出結論．
【考點精析】關于本題考查的利用導數研究函數的單調性，需要了解一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減才能得出正確答案．