Question

有兩點M（-1，0），N（1，0），點P（x，y）使

MP

•

MN

，

PM

•

PN

，

NM

•

NP

成公差小于零的等差數列；
1）求x，y滿足的關系式；2）若P橫坐標x₀=

2

，記 θ為

PM

與

PN

夾角，求tanθ值．

Answer 1

分析：（1）利用向量的坐標運算、數量積運算，將已知化為2x+2+（-2x+2）=2（x²-1+y²），且2x+2＞-2x+2 并整理即可．
（2）利用向量夾角計算公式，先得出cosθ，再求tanθ．

解答：解：（1）由已知，得到：

MP

=（x+1，y）  

MN

=（2，0）

NP

=（x-1，y）
 

PM

=-

MP

=（-x-1，-y），

PN

=-

NP

=（-x+1，-y），
∴

MP

•

MN

=2x+2，

PM

•

PN

=x2-1+y2， 

NM

•

NP

=-2x+2，
∵

MP

•

MN

，

PM

•

PN

，

NM

•

NP

成公差小于零的等差數列，
∴2x+2+（-2x+2）=2（x²-1+y²），且2x+2＞-2x+2 整理得出x²+y²=3（x＞0）．
（2）

PM

=-

MP

=（-x-1，-y），

PN

=-

NP

=（-x+1，-y），

PM

•

PN

=x²+y²-1=2，

|PM|

•|

PN|

=

(-x+1)2+(-y)2

(-x-1)2+(-y)2

=

x2+y2+2x+1

x2+y2-2x+1

4+2x

4-2x

=

16-4x2

若P橫坐標x₀=

2

，則

|PM|

•|

PN|

=

16-8

=2

2

，cos＜

PM

，

PN

＞=

PM • PN

| PM|  | PN |

=

2

2

，
θ=45°tanθ=1．

點評：本題考查了向量的坐標運算、數量積運算 向量夾角計算，考查轉化、計算能力．