Question

現將邊長為2米的正方形鐵片ABCD裁剪成一個半徑為1米的扇形和一個矩形CRGP，如圖所示，點E、F、P、R分別在AB、AD、BC、CD上，點G在上．設矩形CRGP的面積為S，∠GAE=θ，試將S表示為θ的函數，并指出點G在的何處時，矩形面積最大，并求之．

Answer 1

解：延長RG交AB于點M，則GP=AB-AM=2-cosθ，PC=BC-MG=2-sinθ，
于是，S=GP•PC=4-2（sinθ+cosθ）+sinθ•cosθ
令t=sinθ+cosθ=sin（θ+45°），則sinθcosθ=，
所以S=4-2t+=（t-2）²+．
∵0⁰≤θ≤90⁰
∴
∴當t=1，即θ=45°時，S有最大值2，
此時點G在的中點，矩形面積最大值為2．
分析：先利用線段之間的關系求出矩形CRGP的面積S關于θ的函數關系式，再借助于θ的取值范圍以及二次函數在閉區間上求最值的方法即可求出矩形面積最大值．
點評：本題主要考查三角函數知識的應用問題．解決本題的關鍵在于求出矩形CRGP的面積S關于θ的函數關系式．