Question

【題目】已知橢圓的離心率為，過焦點且垂直于軸的直線被橢圓所截得的弦長為.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若經過點的直線與橢圓交于不同的兩點是坐標原點，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）根據離心率以及弦長，結合，可知，可得結果.

（2）假設點坐標，根據斜率存在與否假設直線方程，并與橢圓方程聯立，使用韋達定理，表示出，結合不等式，可得結果.

解：（1）設橢圓的半焦距為.

因為過焦點且垂直于軸的直線交橢圓

所得的弦長為，所以，

得①因為橢圓的離心率為，

所以②

又③

由①②③，解得.

故橢圓的標準方程是.

（2）當直線的斜率不存在時，

直線的方程為，聯立

解得或

則點的坐標分別為

，或，.

所以

；

當直線的斜率存在時,

設直線的方程為.

聯立消去

得，

因為點在橢圓的內部，

所以直線與橢圓一定有兩個不同的交點.

則.

所以

化簡可得

則

化簡可得.

因為，所以，

所以，所以.

所以，

即，所以.

綜上，的取值范圍是.