Question

【題目】在四棱錐中，底面ABCD是邊長為6的菱形，且，平面ABCD，，F是棱PA上的一個動點，E為PD的中點．

Ⅰ求證：．

Ⅱ若．

求PC與平面BDF所成角的正弦值；

側面PAD內是否存在過點E的一條直線，使得該直線上任一點M與C的連線，都滿足平面BDF，若存在，求出此直線被直線PA、PD所截線段的長度，若不存在，請明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）．

【解析】

證明平面PAC即可得出；建立空間坐標系，求出平面BDF的法向量，計算和的夾角的余弦值即可；取PF的中點G，證明平面，即可得出結論．

證明：平面ABCD，平面ABCD，

，

四邊形ABCD是菱形，

，

又，平面PAC，平面PAC，

平面PAC，

又平面PAC，

．

解：設AC，BD交于點O，以O為坐標原點，以OB，OC，平面ABCD過點O的垂線為坐標軸建立空間直角坐標系，

則0，，0，，，3，，，

，0，，，

設平面BDF的法向量為y，，則，即，

令可得，即2，，

，．

與平面BDF所成角的正弦值為，．

取PF的中點G，連接FG，CG，

，G分別是PD，PF的中點，

，又平面BDF，平面BDF，

平面BDF，

，O分別是AG，AC的中點，

，又平面BDF，平面BDF，

平面BDF，

又平面CEG，平面CEG，，

平面平面BDF，

側面PAD內存在過點E的一條直線EG，使得該直線上任一點M與C的連線，

都滿足平而BDF，

此直線被直線PA、PD所截線段為．