Question

如圖，從山腳下P處經過山腰N到山頂M拉一條電纜，PN的長為a米，NM的長為2a米，在P處測得M、N的仰角分別為45°，30°，在N處測得M的仰角為30°．
（1）求此山的高度；
（2）試求平面PMN與水平面所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）過M作MA垂直過P的水平面于A，過N作NB垂直過P的水平面于B，則MA∥NB，連接AB，PA，PM，PB，過N作NH⊥MA于H，可得：四凌錐P-ABNM的底面ABNM為直角梯形，從而可求山的高度；
（2）解法1：利用面積射影法，分別求得S△MNP=

1

2

NP•NM•

1-cos2∠PNM

=

3 7

8

a2，
S△ABP=

1

2

AP•PB=

3 3

8

a2，從而可求平面PMN與水平面所成角的余弦值；
解法2：以A為原點AB、AM分別為y、z軸建立直角坐標系，求出平面MNP的一個法向量

n

=(1，

3

3

，1)，水平面PAB的一個法向量

m

=

AM

=(0，0，

3

2

)，利用向量的夾角公式，即可求得平面PMN與水平面所成角的余弦值；
解法3：設直線MN與AB交于點C，連PC，過B作BD垂直于PC于點D，連ND．則∠NDB為所求二面角的平面角，可求得tan∠NDB=

2 3

3

，從而可得平面PMN與水平面所成角的余弦值．

解答：解：（1）如圖，過M作MA垂直過P的水平面于A，過N作NB垂直過P的水平面于B，則MA∥NB
連接AB，PA，PM，PB，過N作NH⊥MA于H，
依題意得：四凌錐P-ABNM的底面ABNM為直角梯形，∠NPB=30°，∠MPA=45°，∠MNH=30°，
∴NB=NPsin30°=

1

2

a，MH=

1

2

MN=a
山高MA=MH+HA=MH+NB=

1

2

MN+

1

2

NP=

3

2

a米         
（2）
解法1：設平面PMN與水平面所成角為θ，則AP=MA=

3

2

a，MP=

3 2

2

a，AB=

3

a，PB=

3

2

a
△MNP中，cos∠MNP=

NP2+NM2-MN2

2NP•NM

=

1

8

∴S△MNP=

1

2

NP•NM•

1-cos2∠PNM

=

3 7

8

a2，
∵△APB為直角三角形，∴S△ABP=

1

2

AP•PB=

3 3

8

a2
∴cosθ=

S△ABP

S△MPN

=

21

7

解法2：以A為原點AB、AM分別為y、z軸建立直角坐標系，不妨設a=1，則M(0，0，

3

2

)，N(0，

3

，

1

2

)，P(

3

4

，

3 3

4

，0)

PM

=(-

3

4

，-

3 3

4

，

3

2

)，

PN

=(-

3

4

，

3

4

，

1

2

)
設平面MNP的一個法向量

n

=(x，y，z)，則

n • PM =0 n • PN =0

即

- 3 4 x- 3 3 4 y+ 3 2 z=0 - 3 4 x+ 3 4 y+ 1 2 z=0

令x=1，解得

n

=(1，

3

3

，1)
又水平面PAB的一個法向量

m

=

AM

=(0，0，

3

2

)，
設平面PMN與水平面所成角為θ，則|cosθ|=

| m • n |

| m |•| n |

=

3 2 •1

3 2 1+ 1 3 +1

=

21

7

，
∴平面PMN與水平面所成角的余弦值為

21

7

．
解法3：設直線MN與AB交于點C，連PC，過B作BD垂直于PC于點D，連ND．
則∠NDB為所求二面角的平面角                    
由MA∥NB，MA=

3

2

a，NB=

1

2

a得BC=

3

2

a，BD=

3

4

a，tan∠NDB=

2 3

3

，
∴cos∠NDB=

21

7

∴平面PMN與水平面所成角的余弦值為

21

7

．

點評：本題主要考查空間線面關系、空間角、解三角形等基礎知識；考查空間想象能力，考查運算求解能力以及分析問題解決問題的能力；考查數形結合、化歸與轉化等數學思想．