Question

在如圖的長方體中，AD=AA₁=1，AB=2，點E在棱AB上移動．
（1）當E為AB的中點時，求點E到平面ACD₁的距離；
（2）AE等于何值時，二面角D₁-EC-D的大小為．

Answer 1

【答案】分析：（1）分別以DA，DC，DD₁為x，y，z軸建立空間坐標系，求出向量，的坐標，設點E到平面ACD₁的距離為d，=（x，y，z）是平面ACD₁的法向量，由法向量的性質可求得向量，則d=，利用向量運算可得答案；
（2）設AE=l，由（1）知，E（1，l，0），易知平面ECD的法向量=（0，0，1），設=（x，y，z）是平面CED₁的法向量，由法向量的性質可求得，由cos=可得關于l的方程，解出即可；
解答：解：分別以DA，DC，DD₁為x，y，z軸建立空間坐標系，
知E（1，1，0），A（1，0，0），C（0，2，0），D₁（0，0，1），
（1）=（-1，0，1），=（-1，2，0），
設點E到平面ACD₁的距離為d，=（x，y，z）是平面ACD₁的法向量，
由，得，取=（2，1，2），
而=（0，1，0），
所以d==為所求；
（2）設AE=l，由（1）知，E（1，l，0），設=（x，y，z）是平面CED₁的法向量，
=（-1，2-l，0），=（0，-2，1），
而，即，取=（2-l，1，2）
又平面ECD的法向量=（0，0，1），
由cos=，即=，
解得l=2-，即AE=2-．
點評：本題考查利用空間向量求二面角、點到平面的距離，考查轉化思想，考查學生空間想象能力、邏輯推理能力．