Question

【題目】已知函數f（x）=（x+a）lnx在x=1處的切線方程為y=x﹣1．
（Ⅰ）求a的值及f（x）的單調區間；
（Ⅱ）記函數y=F（x）的圖象為曲線C，設點A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）是曲線C上不同的兩點，如果在曲線C上存在點M（x0 ， y0），使得①x0= ；②曲線C在點M處的切線平行于直線AB，則稱函數F（x）存在“中值相依切線”．試證明：函數f（x）不存在“中值相依切線”．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由f（x）=（x+a）lnx，得f′（x）=lnx+ ．

∴f′（1）=1+a，又f（1）=0，

∴函數f（x）=（x+a）lnx在x=1處的切線方程為y=（1+a）（x﹣1）=（1+a）x﹣1﹣a．

∴1+a=1，得a=0．

則f（x）=xlnx，f′（x）=lnx+1．

由f′（x）=lnx+1=0，得x= ．

∴當x∈ 時，f′（x）＜0，當x∈ 時，f′（x）＞0．

∴f（x）在 上單調遞減，在 上單調遞增；

（Ⅱ）假設函數f（x）存在“中值相依切線”．

設A（x1，y1），B（x2，y2）是曲線y=f（x）上的不同兩點，且0＜x1＜x2，

則y1=x1lnx1，y2=x2lnx2．

．

由f（x）=xlnx的導數為f′（x）=1+lnx，

可得1+ln = = ，

整理得： ，

令 （t＞1），則 ．

令g（t）= （t＞1），

則g′（t）= ，

令h（t）=2t﹣2﹣tlnt﹣lnt，h′（t）=2﹣lnt﹣1﹣ =1﹣lnt﹣ ，

再令r（t）=1﹣lnt﹣ ，

則r′（t）= ＜0，∴r（t）單調遞減，

由r（1）=0，∴h′（t）＜0，得h（t）單調遞減，

又h（1）=0，∴h（t）＜0，即g′（t）＜0在（1，+∞）上恒成立．

可得g（t）在（1，+∞）上單調遞減，則g（t）＜g（1）=﹣ln2．

∴ 不成立，

故假設錯誤，函數f（x）不存在“中值相依切線”．

【解析】（Ⅰ）求出函數f（x）的導函數，得到函數在x=1處的切線方程，結合已知切線方程求得a值，進一步求得函數的單調區間；（Ⅱ）假設函數f（x）存在“中值相依切線”．設A（x1，y1），B（x2，y2）是曲線y=f（x）上的不同兩點，且0＜x1＜x2，則y1=x1lnx1，y2=x2lnx2．求出kAB及f′（ ）．由題意列等式可得1+ln = = ，整理得： ，令 （t＞1）換元，則 ．令g（t）= （t＞1），利用導數求得g（t）的最小值小于1﹣ln2，說明計算錯誤，函數f（x）不存在“中值相依切線”．