Question

對于實數x，用[x]表示不超過x的最大整數，如[0.32]=0，[5.68]=5．若n為正整數，an=[

n

4

]，S_n為數列{a_n}的前n項和，則S_4n=

（2n-1）n

．

Answer 1

分析：先推導a1=[

1

4

]=0，a2=[

1

2

]=0，a3=[

3

4

]=0，a₄=[1]=1a5=[

5

4

]=1，a6=[

6

4

]=1，a7=[

7

4

]=1，a₈=[2]=2，…a_4n=[n]=n，而S_4n=a₁+a₂+…+a_4n=4（0+1+2+3+…+n-1）+n可求

解答：解：∵a1=[

1

4

]=0，a2=[

1

2

]=0，a3=[

3

4

]=0，a₄=[1]=1a5=[

5

4

]=1
a6=[

6

4

]=1，a7=[

7

4

]=1，a₈=[2]=2
a_4n=[n]=n
S_4n=a₁+a₂+…+a_4n=4（0+1+2+3+…+n-1）+n
=4×

(1+n-1)(n-1)

2

+n=n（2n-1）
故答案為：n（2n-1）

點評：本題主要考查數列與函數的綜合運用，主要涉及了數列的推導與歸納，同時又是新定義題，應熟悉定義，將問題轉化為已知等差數列的求和問題去解決．