Question

如圖，四棱錐的底面是正方形，每條側棱的長都是底面邊長的倍，為側棱上的點。

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）若平面，求二面角的大小；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，側棱上是否存在一點， 使得平面。若存在，求的值；若不存在，試說明理由。

 

 

 

Answer 1

【答案】

解法一：

（Ⅰ）；連,設交于于，由題意知.以O為坐標原點，分別為軸、軸、軸正方向，建立坐標系如圖。

設底面邊長為，則高。   于是    

           

      故           從而  

(Ⅱ)由題設知，平面的一個法向量，平面的一個法向量，設所求二面角為，則,所求二面角的大小為

（Ⅲ）在棱上存在一點使.由（Ⅱ）知是平面的一個法向量，

且  

設        則     

而           即當時，       

而不在平面內，故

解法二：（Ⅰ）連BD，設AC交BD于O，由題意。在正方形ABCD中，，所以,得.

(Ⅱ)設正方形邊長，則。

又，所以,

連，由（Ⅰ）知,所以,     

且,所以是二面角的平面角。

由,知,所以,

即二面角的大小為。

Ⅲ）在棱SC上存在一點E，使

由（Ⅱ）可得，故可在上取一點,使,過作的平行線與的交點即為。連BN。在中知，又由于,故平面，得,由于,故.

【解析】略