Question

如圖,在四棱錐P—ABCD中,底面ABCD為矩形,側棱PA⊥底面ABCD,AB=,BC=1,PA=2,E為PD的中點.

(1)求直線AC與PB所成角的余弦值;

(2)在側面PAB內找一點N,使NE⊥面PAC,并求出N點到AB和AP的距離.

Answer 1

解法一：(1)建立如圖所示的空間直角坐標系,則A、B、C、D、P、E的坐標分別為A(0,0,0)、B(,0,0)、C(,1,0)、D(0,1,0)、P(0,0,2)、E(0,,1),從而

=(,1,0),=(,0,-2).

    設與的夾角為θ,則

cosθ===,

∴AC與PB所成角的余弦值為.

(2)由于N點在側面PAB內,故可設N點坐標為(x,0,z),則=(-x,,1-z).

    由NE⊥面PAC,可得

    即化簡得∴

    即N點的坐標為(,0,1),從而N點到AB、AP的距離分別為1,.

解法二:(1)設AC∩BD=O,連結OE,則OE∥PB, ∴∠EOA即為AC與PB所成的角或其補角.

   在△AOE中,AO=1,OE=PB=,AE=PD=,

∴cos∠EOA==,

    即AC與PB所成角的余弦值為.

(2)在面ABCD內過D作AC的垂線交AB于F,則∠ADF=.

    連結PF,則在Rt△ADF中,DF==,AF=AD·tan∠ADF=.

    設N為PF的中點,連結NE,則NE∥DF.

∵DF⊥AC,DF⊥PA,∴DF⊥面PAC.從而NE⊥面PAC.

∴N點到AB的距離為AP=1,N點到AP的距離為AF=.