Question

【題目】已知正方形的邊長為4，，分別為，的中點，以為棱將正方形折成如圖所示的的二面角，點在線段上且不與點，重合，直線與由，，三點所確定的平面相交，交點為．

（1）若為的中點，試確定點的位置，并證明直線平面；

（2）若，求的長度，并求此時點到平面的距離．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）延長交的延長線于，連接交于，利用平面幾何知識得，再根據線面平行判定定理得結論，（2）根據線線垂直、線面垂直關系將條件轉化到平面內垂直關系，再根據相似三角形以及直角三角形計算得結果．

(1)延長交的延長線于，

為中點，，為中點，

又，為中點，

連接交于，則為中點，所以，

又平面，平面，平面；

（2）由題意可知，所以平面，同理可得平面，因為二面角為60°, ，與是全等的正三角形，取中點，則,由平面，平面得,因此平面，即,平面，

設，

的長度為．

過作于,則由平面，得平面，即為點到平面的距離，

點到平面的距離為．