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【題目】如圖，圓臺的軸截面為等腰梯形，圓臺的側面積為.若點分別為圓上的動點，且點在平面的同側.

（1）求證:；

（2）若，則當三棱錐的體積取最大值時，求與平面所成角的正弦值.

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

（1）根據圓臺側面積公式可以求出上下兩底面的半徑，根據線面垂直的性質、直角三角形的判斷方法進行證明即可；

（2）根據三棱錐的體積公式，結合基本不等式確定點位置，建立空間直角坐標系，利用空間向量夾角公式進行求解即可.

（1）證明:設圓的半徑分別為

因為圓臺的側面積為，

所以，可得

因此，在等腰梯形中，.

如圖，連接線段，

在圓臺中，平面平面，

所以.

又，

所以在中，.

在中，，

故，即.

（2）解:由題意可知，三棱錐的體積為

又在直角三角形中，

所以當且僅當，

即點為弧的中點時，有最大值

連接，因為平面，

所以以為坐標原點，

分別以的方向為軸建立如圖所示的空間直角坐標系.

點，

由可知，

設平面的法向量

則，，

取，

則

所以與平面所成角的正弦值為

練習冊系列答案
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【題目】班主任為了對本班學生的考試成績進行分析，決定從本班24名女同學，18名男同學中隨機抽取一個容量為7的樣本進行分析.

（1）如果按照性別比例分層抽樣，可以得到多少個不同的樣本？（寫出算式即可，不必計算出結果）

（2）如果隨機抽取的7名同學的數學，物理成績（單位：分）對應如下表：

學生序號

1

2

3

4

5

6

7

數學成績

60

65

70

75

85

87

90

物理成績

70

77

80

85

90

86

93

①若規定85分以上（包括85分）為優秀，從這7名同學中抽取3名同學，記3名同學中數學和物理成績均為優秀的人數為，求的分布列和數學期望；

②根據上表數據，求物理成績關于數學成績的線性回歸方程（系數精確到0.01）；若班上某位同學的數學成績為96分，預測該同學的物理成績為多少分？

附：線性回歸方程，

其中，.

76

83

812

526

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某企業有甲、乙兩套設備生產同一種產品，為了檢測兩套設備的生產質量情況，隨機從兩套設備生產的大量產品中各抽取了50件產品作為樣本，檢測一項質量指標值，若該項質量指標值落在內，則為合格品，否則為不合格品.現統計得到相關統計情況如下：

甲套設備的樣本的頻率分布直方圖

乙套設備的樣本的頻數分布表

質量指標值

頻數

1

6

19

18

5

1

（1）根據上述所得統計數據，計算產品合格率，并對兩套設備的優劣進行比較；

（2）填寫下面列聯表，并根據列聯表判斷是否有95%的把握認為該企業生產的這種產品的質量指標值與甲、乙兩套設備的選擇有關.

甲套設備

乙套設備

合計

合格品

不合格品

合計

附：

0.15

0.10

0.050

0.025

0.010

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

參考公式：，其中

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】改革開放以來，中國快遞行業持續快速發展，快遞業務量從上世紀年代的萬件提升到2018年的億件，快遞行業的發展也給我們的生活帶來了很大便利.已知某市某快遞點的收費標準為:首重(重量小于等于)收費元，續重元(不足按算). (如:一個包裹重量為則需支付首付元，續重元，一共元快遞費用)

（1）若你有三件禮物重量分別為，要將三個禮物分成兩個包裹寄出(如:合為一個包裹，一個包裹)，那么如何分配禮物，使得你花費的快遞費最少？

（2）對該快遞點近天的每日攬包裹數(單位:件)進行統計，得到的日攬包裹數分別為件，件，件，件，件，那么從這天中隨機抽出天，求這天的日攬包裹數均超過件的概率.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】改革開放以來，中國快遞行業持續快速發展，快遞業務量從上世紀年代的萬件提升到2018年的億件，快遞行業的發展也給我們的生活帶來了很大便利.已知某市某快遞點的收費標準為:首重(重量小于等于)收費元，續重元(不足按算). (如:一個包裹重量為則需支付首付元，續重元，一共元快遞費用)

（1）若你有三件禮物重量分別為，要將三個禮物分成兩個包裹寄出(如:合為一個包裹，一個包裹)，那么如何分配禮物，使得你花費的快遞費最少？

（2）為了解該快遞點2019年的攬件情況，在2019年內隨機抽查了天的日攬收包裹數(單位:件)，得到如下表格:

包裹數(單位:件)

天數(天)

現用這天的日攬收包裹數估計該快遞點2019年的日攬收包裏數.若從2019年任取天，記這天中日攬收包裹數超過件的天數為隨機變量求的分布列和期望

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【題目】如圖，在正四棱錐中，底面正方形的對角線交于點且

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（1）求曲線的極坐標方程；

（2）射線與曲線、直線分別交于、兩點（異于極點），求的最大值.

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【題目】如圖，矩形所在的平面與正三角形所在的平面互相垂直，為的中點，連接.

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【題目】如圖，在四棱錐中，平面平面，.

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）若銳二面角的余弦值為，求直線與平面所成的角.

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