Question

已知點（1，2）是函數f（x）=a^x（a＞0且a≠1）的圖象上一點，數列{a_n}的前n項和S_n=f（n）-1．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）若b_n=n+a_n，求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）當n=1時，a₁=S₁=1；當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，即可得出；
（2）由于b_n=n+a_n，所以bn=n+2n-1．利用等差數列和等比數列的前n項和公式即可得出．

解答：解：（1）把點（1，2）代入函數f（x）=a^x得2=a¹，解得a=2，
∴數列{a_n}的前n項和為S_n=f（n）-1=2ⁿ-1．
當n=1時，a₁=S₁=1；
當n≥2時，an=Sn-Sn-1=2n-2n-1=2n-1，
對n=1時也適合．∴an=2n-1．
（2）由于b_n=n+a_n，所以bn=n+2n-1．
分組求和可得：Tn=(1+2+…+n)+1+2+22+…+2n-1
=

n(1+n)

2

+

2n-1

2-1

=

n(1+n)

2

+2n-1．

點評：熟練掌握當n=1時，a₁=S₁=1；當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1求a_n、等差數列和等比數列的前n項和公式是解題的關鍵．