Question

已知f（x）的定義域為（0，+∞），且滿足f（2）=1，f（xy）=f（x）+f（y）又當 x₂＞x₁＞0時，f（x₂）＞f（x₁）
（1）求f（1），f（4），f（8）的值；
（2）若有f（2x-5）≤3成立，求x的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由f（xy）=f（x）+f（y），通過賦值法即可求得f（1），f（4），f（8）的值；
（2）由“x₂＞x₁＞0時，f（x₂）＞f（x₁）”可知f（x）在定義域（0，+∞）上為增函數，從而f（2x-5）≤3=f（8）可脫去函數“外衣”，求得x的取值范圍．
解答：解：（1）由f（xy）=f（x）+f（y）得：f（1•1）=f（1）+f（1）⇒f（1）=0；…2分
⇒f（4）=2；…2分
⇒f（8）=3；…2分
（2）由“x₂＞x₁＞0時，f（x₂）＞f（x₁）”得f（x）在定義域（0，+∞）上為增函數；…2分
∴⇒f（2x-5）≤f（8）⇒⇒＜x≤…2分
點評：本題考查抽象函數及其應用，考查函數單調性的性質及函數求值，（2）中判斷函數f（x）在定義域（0，+∞）上為增函數是關鍵，屬于中檔題．