Question

已知橢圓過點，且離心率為.斜率為的直線與橢圓交于A、B兩點，以為底邊作等腰三角形，頂點為.
（1）求橢圓的方程；
（2）求△的面積．

Answer 1

（1）；（2）.

解析試題分析：（1）要求橢圓標準方程，就是要求得，因此我們要尋找關于的兩個等式，本題中有離心率，是一個等式，另一個是橢圓過點，即，再結合可解得，得到標準方程；（2）要求△的面積，應該先確定位置，也即確定直線，我們可以設的方程為，條件是以為底邊的等腰三角形怎么應用？這個條件用得較多的是其性質，三線合一，即取的中點，則有，我們就用這個來求出參數的值，方法是設，的中點為，把直線方程代入橢圓方程，可得，從而求出用表示，再由可很快求得，以后就可得到點的坐標，求出面積.
試題解析：（1）由已知得.              1分
解得.又，所以橢圓G的方程為.     4分
（2）設直線l的方程為.
由得.  ①             6分
設A、B的坐標分別為AB中點為E，
則.                     8分
因為AB是等腰△的底邊，
所以PE⊥AB.所以PE的斜率，解得m=2.        10分
此時方程①為，解得，
所以，所以|AB|=.
此時，點P（－3，2）到直線AB：的距離，
所以△的面積S=.                        12分
考點：橢圓的標準方程，直線與橢圓相交綜合問題(相交弦長，點到直線距離，三角形面積等).