Question

已知函數y=f（x），x∈D，若存在常數C，對?x₁∈D，?唯一的x₂∈D，使得

f(x1)•f(x2)

=C，則稱常數C是函數f（x）在D上的“翔宇一品數”．若已知函數f(x)=(

1

2

)x，x∈[1，3]，則f（x）在[1，3]上的“翔宇一品數”是

1

4

．

Answer 1

分析：根據已知中函數y=f（x），x∈D，若存在常數C，對?x₁∈D，?唯一的x₂∈D，使得

f(x1)•f(x2)

=C，則稱常數C是函數f（x）在D上的“翔宇一品數”．根據函數f(x)=(

1

2

)x，x∈[1，3]，為單調減函數，可得f（x）在[1，3]上的“翔宇一品數”是其最大值和最小值的幾何平均數．

解答：解：由已知中翔宇一品數的定義可得C即為函數y=f（x），x∈D最大值與最小值的幾何平均數
又∵函數f(x)=(

1

2

)x，x∈[1，3]為減函數
故其最大值M=

1

2

，最小值m=(

1

2

)3
故C=

1 2 •( 1 2 )3

=

1

4

故答案為

1

4

點評：本題考查的知識點是函數單調性的性質，其中根據已知判斷出C等于函數在區間D上最大值與最小值的幾何平均數，是解答本題的關鍵．