Question

射擊運動的槍靶是由10個同心圓組成的,其中每兩個相鄰同心圓的半徑的差等于中間最小圓的半徑.每相鄰兩個圓之間圍成一個圓環.從外向內順次叫做1環,2環,3環,…,8環,9環.最小圓內的區域叫做10環.

(1)若規定10環的面積為1,分別求出10環到1環的面積.

(2)如果像槍靶那樣構造無數多個同心圓,并且從最內部的小圓區域依次到外面的各個圓環區域的面積分別記為S₁,S₂,S₃,…,S_n,…,試給出S_n與S_n+1的遞推關系式.?

Answer 1

解:(1)設最小圓半徑為R,從小到大各同心圓的半徑依次為2R,3R,…,9R,10R,

于是10環的面積為πR²=1,?

9環的面積為π(2R)²-πR²=3πR²=3;?

8環的面積為π(3R)²-π(2R)²=5πR²=5.?

……?

類似地可算出7環到1環的面積分別為7,9,11,13,15,17,19.?

(2)設最小圓半徑為R,則第n-1個、第n個、第n+1個同心圓的半徑分別為(n-1)R、nR、(n+1)R.

∴S_n=π(nR)²-π［(n-1)R］²=(2n-1)πR²,?

S_n+1=π［(n+1)R］²-π(nR)²=(2n+1)πR²,?

.?

∴遞推關系式為S_n+1=S_n.