Question

【題目】已知拋物線和圓，拋物線的焦點為.

（1）求的圓心到的準線的距離；

（2）若點在拋物線上，且滿足， 過點作圓的兩條切線，記切點為，求四邊形的面積的取值范圍；

（3）如圖，若直線與拋物線和圓依次交于四點，證明:的充要條件是“直線的方程為”

Answer 1

【答案】（1）4；（2）；（3）見解析

【解析】

（1）分別求出圓心和準線方程即可得解；

（2）根據條件可表示出四邊形的面積，利用函數的單調性即可得解；

（3）充分性：令直線的方程為，分別求出、、、四點坐標后即可證明；必要性：設的方程為，，，，，由可得，即可得出與的關系，進而可得出直線的方程為.

（1）由可得:，的圓心與的焦點重合，

的圓心到的準線的距離為.

（2）四邊形的面積為:

，

當時，四邊形的面積的取值范圍為.

（2）證明(充分性) :若直線的方程為，將分別代入

得，，，.

，.

(必要性) :若，則線段與線段的中點重合，

設的方程為，，，，，

則，將代入得，

，即，

同理可得，，

即或，

而當時，將其代入得不可能成立； .

當時，由得：，，

將代入得，，

，，

，或（舍去）

直線的方程為.

的充要條件是“直線的方程為”.