Question

已知函數（）．
（1）當時，求函數的單調區間；
（2）函數在定義域內是否存在零點？若存在，請指出有幾個零點；若不存在，請說明理由；
（3）若對任意恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

（1）的單調增區間為，單調減區間為.（2）當時，函數有兩個不同的零點；當時，函數有且僅有一個零點；當時，函數沒有零點；（3）
a的取值范圍是．

解析試題分析：（1）首先求導：，再根據導數的符號確定其單調性．時，函數單調遞增；時，函數單調減；（2）首先分離參數.由，得.令（），下面就利用導數研究函數性質，然后結合圖象便可得知的零點的個數；（3）要使得對任意恒成立，只需的最小值大于零即可. 由，則．當時，對，有，所以函數在區間上單調遞增，又，即對恒成立．當時，由（1），單調遞增區間為，單調遞減區間為，若對任意恒成立，只需，顯然不可能直接解這個不等式，下面利用導數來研究，看在什么條件下這個不等式能成立.令（），，即在區間上單調遞減，又，故在上恒成立，也就是說當時，滿足的a不存在．所以a的取值范圍是．
（1）由，則．
由，得；由，得，
所以函數的單調增區間為，單調減區間為． 4分
（2）函數的定義域為，由，得（）， 5分
令（），則，
由于，，可知當