Question

有下列命題：
①在函數y=cos(x-

π

4

)cos(x+

π

4

)的圖象中，相鄰兩個對稱中心的距離為

π

2

；
②若銳角α，β滿足cosα＞sinβ，則α+β＜

π

2

；
③函數f（x）=ax²-2ax-1有且僅有一個零點，則實數a=-1；
④要得到函數y=sin(

x

2

-

π

4

)的圖象，只需將y=sin

x

2

的圖象向右平移

π

4

個單位．
⑤非零向量

a

和

b

滿足|

a

|=|

b

|=|

a

-

b

|，則

a

與

a

+

b

的夾角為60°．
其中所有真命題的序號是

①②③

．

Answer 1

分析：①將f（x）=cos（x+

π

4

）化為f（x）=

1

2

cos2x，可求其周期，圖象上相鄰兩個對稱中心的距離是

T

2

，從而進行求解；
②將sinβ=cos（

π

2

-β），代入cosα＞sinβ，進行求解；
③函數f（x）=）=ax²-2ax-1，利用圖象的性質可得△=0，進行求解；
④函數y=sin(

x

2

-

π

4

)的圖象，根據平移的性質，進行求解；
⑤非零向量

a

和

b

滿足|

a

|=|

b

|=|

a

-

b

|，可以推出

a

與

a

+

b

的夾角為30°，從而進行判斷；

解答：解：①∵f（x）=cos（x-

π

4

）cos（x+

π

4

）=

1

2

cos2x，
∴其周期T=π，又圖象上相鄰兩個對稱中心的距離是

T

2

，故①正確；
②∵cosα＞sinβ，cosα＞cos（

π

2

-β），可得cosα-cos（

π

2

-β）＞0，
∵α，β是銳角，
∴α＜

π

2

-β，即α+β＜

π

2

；故②正確；
③函數f（x）=ax²-2ax-1有且僅有一個零點，
∴△=（-2a）²-4a×（-1）=4a²+4a=0，解得a=-1，a=0（舍去），故③正確；
④要得到函數y=sin(

x

2

-

π

4

)的圖象，只需將函數y=sin

x

2

的圖象向右平移

π

2

個單位可得，故④錯誤；
⑤非零向量

a

和

b

滿足|

a

|=|

b

|=|

a

-

b

|，∴

a

與

a

+

b

的夾角為30°，故⑤錯誤；
故答案為：①②③；

點評：此題考查三角函數的性質及函數的性質，考查的知識點比較全面，是一道基礎題；