Question

已知指數函數y=f（x）的圖象經過點（2，4），且g（x）=|f（x）-1|．
（Ⅰ）作出函數g（x）的圖象，并指出它的單調區間及單調性；
（Ⅱ）已知方程g（x-1）=k+2有且僅有一個不同的實數解，求實數k的取值范圍．

Answer 1

解：（I）設y=f（x）=a^x，代入點（2，4）
得4=a²，
∴α=2，
∴f（x）=2^x
∵函數g（x）=|f（x）-1|，
故將函數f（x）的圖象向下平移一個單位，再做縱向的對折變換可得函數g（x）的圖象，
由圖可得，函數g（x）的有兩個單調區間（-∞，0]，[0，+∞）
在區間（-∞，0]上函數為減函數，
在區間[0，+∞）上函數為增函數；
（II）函數y=g（x-1）的圖象由函數g（x）的圖象向右平移兩個單位得到
若方程g（x-1）=k+2有且僅有一個不同的實數解，
則函數y=g（x-1）與y=k+2有且僅有一個交點，
由圖可得k+2=0或k+2＞1，
故實數k的取值范圍為k=-2或k＞-1，
分析：（I）利用待定系數法，設f（x）=x^α，代入點（2，4），解指數方程即可得α值，進而求出函數f（x）的解析式，進而利用平移變換法則及對折變換法則，畫出函數g（x）的圖象，根據圖象可分析出函數的單調區間及單調性；
（II）若方程g（x-1）=k+2有且僅有一個不同的實數解，則函數y=g（x-1）與y=k+2有且僅有一個交點，數形結合可得答案．
點評：本題以函數的單調性及單調區間的求法及方程根的個數為載體考查了指數函數解析式的求法，指數函數的圖象，函數圖象平移變換及對折變換，是函數圖象和性質是綜合應用．