Question

如圖，在邊長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E為AD中點，
（1）求二面角E-A₁C₁-D₁的平面角的余弦值；
（2）求四面體B-A₁C₁E的體積．
（3）（文） 求E點到平面A₁C₁B的距離
（4）（文）求二面角B-A₁C₁-B₁的平面角的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先作出二面角E-A₁C₁-D₁的平面角：在A₁D₁上取中點F．連接EF過F作FM⊥A₁C₁于A₁C₁上一點M，連接EM，則∠EMF為二面角E-A₁C₁-D₁的平面角．再在△A₁C₁D₁中，可求；
（2）求四面體B-A₁C₁E的體積，可以轉換底面，求V_C1-A1BN，即可；
（3）將E到平面BA₁C₁的距離轉化為M點到平面BA₁C₁的距離，再在△MHB中可求；
（4）先利用三垂線定理確定二面角的平面角，再在△BO₁B₁中求解．
解答：解：（1）在邊長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，E為AD中點，在A₁D₁上取中點F．連接EF過F作FM⊥A₁C₁于A₁C₁上一點M，連接EM，則∠EMF為二面角E-A₁C₁-D₁的平面角．
在△A₁C₁D₁中，FM=B₁D₁=，又EF⊥FM，EF=1
∴tan∠EMF==2，從而cos∠EMF=．
∴二面角E-A₁C₁-D₁的余弦值為
（2）在平面ABCD內，延長BA到N點，使AN=，故NE∥A₁C₁，∴NE∥面BA₁C₁
∴V_B-A1C1E=V_E-A1BC1=V_N-A1C1E=V_C1-A1BN
=•（••1）•1=

（3）（文）取DC中點F，連接EF交BD于M點，又E為AD中點，故可知EF∥A₁C₁，則EF∥面BA₁C₁，
因此E到平面BA₁C₁的距離就是M點到平面BA₁C₁的距離．
在對角面BA₁D₁D內，過M作MH⊥O₁B交OB1于H，
∵A₁C₁⊥面BB₁D₁D，則面BD₁⊥面BA₁C₁而MH⊥O₁B，則MH⊥面BA₁C₁，
又∵sin∠DBO₁= 故在△MHB中，MH=BM•sin∠DBO₁=•=
故E到平面BA₁C₁之距離為
（4）

在邊長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁連B₁D₁，則B₁D₁⊥A₁C₁，設其交點為O₁，連O₁B．
則由三垂線定理可知O₁B⊥A₁C₁
∴∠BO₁B₁為二面角B-A₁C₁-B₁的平面角．
又BB₁=1，O₁B=，∴tan∠BO₁B₁=，從而cos∠BO₁B₁==．
點評：本題的考點是與二面角有關的立體幾何綜合問題，主要考查二面角的求法，考查幾何體的體積，關鍵是作（找）二面角的平面角．